8.Selectia 

 - Are in calitate de operand o singura relatie. Ea extrage din relatia data tuplurile care satisfac un criteriu de selectie. in consecinta se obtine o relatie care este constituita dintr-o submultime de tupluri ale relatiei initiale. Pentru selectarea tuplurilor dintr-o relatie, se specifica criteriul de selectare. Acest criteriu, fie ca e notata prin F, reprezinta o formula bine formata care poate fi definita recursiv.

 - O formula F asupra unei relatii r, se defineste ca o expresie logica compusa din operanzi care sunt nume de atribute sau constante; operatorii de comparatie aritmetica =, !=, <, <=, >=, >, operatorii logici &, ∨, ¬. precum urmeaza:

1. A θ B si A θ a doua formule bine formate (atomice) unde A si B sunt atribute compatibile si a ∈ dom (A),iar  θ ∈ (=, !=, <, <=, >=, >,)
2. Daca G si H sunt formule bine formate, atunci vonjunctia G & H, disjunctia G ∨ H, negatiile ¬G si ¬H sunt formule bine formate
3. Nicio alta formula nu e formula bine formata in calitate de criteriu

​ - Formula bine formata F e aplicabila relatiei r(R), daca orice constanta c din F este in dom(A), unde A∈ R, si orice atribut utilizat in F este in R. O relatie r satisface F, daca F e aplicabila relatiei r si orice tuplu t∈ r satisface formula F, in sensul ca formula obtinuta prin substituirea oricarui atribut A din F cu A-valoarea tuplului t are valoarea adevar.

 - Selectia relatiei r(R) conform unei formule bine formate si aplicabile F este o submultime de tupluri ale relatiei r(R), notata cu σ_F(r), ce consta din toate tuplurile t∈ r , care satisfac F, adica 

σ_F(r) = { t | t ∈ r & F(t)}

Cu alte cuvinte, o selectie σ_F(r)  produce o relatie care are aceleasi atribute ca relatia r si care contine acele tupluri din r pentru care F este adevarata.

Exista si cazuri speciale ale selectiei:

• Daca F e o formula vida, sau o tautologie, atunci σ_F(r) = r. In acest caz, asupra tuplurilor t ∈ r nu se impune nicio constringere de selectie.
• Daca r(R) =  , atunci σ_F(r) =  pentru orice formula F, deoarece F e satisfacuta de orice relatie vida.

Unele proprietati ale expresiilor ce includ operatia selectia

• Compozitia a doua selectii este comutativa: σ_G(σ_F(r)) = σ_F(σ_G(r))
• Selectiile pot fi atomizate σ_F&G(r) = σ_F(σ_G(r))
• Operatia selectia este distributiva in raport cu operatiile binare traditionale pe multimi. Astfel, daca r si s sunt doua relatii compatibile si  x∈ {  ∪ , ∩ , \}, atunci σ_F(r x s) = σ_F(r) x σ_F(s)
• Operatiiile selectia si proiectia se bucura de proprietatea comutativa, daca sunt respectate unele conditii. Fie r o relatie cu schema R si fie X ⊆ R si F o formula bine formata definita pe X. Atunci  _x(σ_F(r) ) = σ_F(_x(r) .

​ - In plus sunt urmatoarele proprietati

• σ_F∨ G(r) = σ_F(r) ∪ σ_G(r)
• σ_F& G(r) = σ_F(r) ∩ σ_G(r)
• σ_F& (_¬G)(r) = σ_F(r) \ σ_G(r)

9.Jonctiunea naturala

 - jonctiunea este una din operatiile esentiale ale algebrei relatioanale, probabil, cea mai dificil de realizat de SGBD-uri. Jonctiunea poate compune doua relatii folosind un criteriu de jonctiune. Aceasta poate fi vazuta ca o extensie a produsului cartezian cu o conditie de comparare a atributelor.

 - Jonctiunea naturala pentru doua relatii r(R) si s(S) (notata r   s) se obtine facind jonctiunea celor doua relatii dupa conditia "atributele cu acelasi nume au valori egale" si eliminid prin proiectie atributele duplicat (cele dupa care s-a facut jonctiunea)

 - Fie r(R) si s(S) doua relatii. Jonctiunea naturala r   s este o relatie definita pe schema RS (adica R ∪ S) astfel, incit

r   s =  { t | t [R]∈ r & t[S]∈ s}

Definita confirma faptul ca tuplurile relatiei-rezultat provin din combinarea tuplurilor din r cu tuplurile din s care au valori egale pentru atributele comune, adica (R ∩ S) - valori egale. In practica, de obicei, atributele comune R ∩ S, constituie intr0o relatie, cheiea primara, iar in alta relatie - cheia externa.

 - Jonctiunea naturala se calculeaza de SGBD in trei etape:

1. Mai intii, este determinat produsul cartezian r x s.
2. Apoi, asupra produsului cartezian obtinut, este efectuata o operatie de selectie, prin extragerea tuplurilor care continaceleasi valori, ale atributelor comune din schemele relatiilor incidente r si s
3. In final sunt eliminate atributele redundante rezultate

 - Cazuri speciale:

• Daca Schemele R si S sunt disjuncte, R ∩ S =  , atunci jonctiunea relatiilor r si s este identica cu produsul cartezian al lor,
  adica r   s = r x s
• Daca R ∩ S ≠    si  | R ∩ S | = k, atunci jonctiunea poate fi redata prin operatiile proiectia, selectia si produsul cartezian
• Daca R = S, atunci r   s = r ∩ s

 - Daca toate tuplurile din ambele relatii sunt jonctionabile, se spune ca jonctiunea naturala este completa.

Fie r(R) si s(S) doua relatii. Jonctiunea naturala r   s este completa daca:

∀t_r ∈ r, ∃ t ∈  r   s, astfel incti  t [R] = t_r   si 

∀t_s ∈ s, ∃ t₁ ∈  r   s, astfel incti  t_s [S] = t_s 

 - Jonctiunea natarula dintre r si s contine un numar de tupluri cuprins intre 0 si |r| * |s|. Mai mult decit atit:

• Daca jonctiunea este completa atunci | r   s | >= max( | r |,  | s | ).
• Daca R ∩ S contine o cheie pentru s, atunci  | r   s | <=  | r |
•  
• Daca R ∩ S este cheie primara pentru s si exista constringerea de integritate referentiala pe atribute R ∩ S din r si s, atunci | r   s | <=  | r |

10.Semijonctiunea

 - In unele cazuri, in timpul executarii unei jonctiuni, nu este necesar sa se pastreze atributele ambelor reltii in relatia-rezultat.

 - Semijonctiunea este o operatie binara. Ea consta in construirea unei relatii din cele doua, dar e formata nuami din tupluri luate dintr-o singura relatie ce participa la jonctiune.

 - Fie doua relatii r(R) si s(S). Semijonctiunea relatiilor r si s, notata cu r  s, este o multime de tupluri determinata de proiectia asupra multimii de atribute R a jonctiunii naturale dintre relatiile r si s:

r    s = _R (r   s)

11.Jonctiunea Theta

 - Denumita si jonctiune generala, a doua relatii produce o a treia relatie care contine toate combinatiile de tupluri ale celor doua realtii care satisfac o conditie initilala specificata. Conditia trebuie, desigur, sa permita fuziunea celor doua relatii. Denunmirea de theta-jonctiune este folosita din motive istorice, simbolul θ (unde θ∈ (=, !=, <, <=, >, >=), fiind utilizat, initial pentru a desemna o conditie de comparare intre atributele celor doua relatii

 - Fie doua relatii r(R) si s(S). Jonctiunea theta a  relatiilor r si s, notata cu r _F s reprezinta produsul cartezian la relatiilor r si s, urmat de o selectie dupa conditia F (conditie de jonctiunea): r _F s = σ_F(r x r) 

 - Conform definitiei, jonctiunea-theta este efectuata in urmatoarea ordine:

1. Se calculeaza produsul cartezian r x s.

2. Din relatia obtinuta, sunt extrase, prin selectie, tuplurile care satisfac formula F.

12.Jonctiuni externe

 - Sunt trei variante de jonctiune externa:

• La stinga . Rezultat apar toate tuplurile relatiei din stinga operatorului
• La dreapta
• Completa

13.Divizarea

 - permite cautarea, intr-o relatie a subtuplurilor care pot fi completate cu toate celelalte din alta relatie.

14.Interogari in algebra relationala